Teoremas de Pappus y Guldinus

Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandría durante el siglo tercero a. c. y establecidos posteriormente por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolución.

Una superficie de revolución se crea girando una curva plana con respecto de un eje fijo que no intercepta el plano de la curva; mientras que un volumen de revolución se forma girando el área de un plano con respecto de un eje fijo que no intercepta el plano del área.

Área de una superficie

El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva generadora y la distancia recorrida por su centroide al generar dicha área.

Prueba

Cuando una longitud diferencial dL es girada con respecto a un eje a lo largo de una distancia 2πr, forma un anillo cuya área es dA=2πr dL. La superficie total, generada al girar toda la curva con respecto al eje es, por lo tanto, A=2π∫_L r dL. Esta ecuación se puede simplificar, si se observa que la ubicación r del centroide para la línea de longitud total L puede determinarse de la  ecuación r*=∫r dL/L. Así, la superficie total se convierte en A=2πr*L. Sin embargo, si la línea no gira una revolución completa, entonces suele suceder que, A=θr*L (donde A=superficie de revolución, θ =ángulo de revolución en radianes, r= distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide de la curva y L= longitud de la curva).