Estática "El blog en Equilibrio": 3MM1

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ESTÁTICA EN LAS ESTRUCTURAS....

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La estática cuenta con muchas aplicaciones dentro de la vida diaria, una de estas aplicaciones puede ser dentro de lo que es el área de estructuras, como por ejemplo dentro de la ingeniería civil. La resistencia de los materiales depende en gran parte de la aplicación del equilibrio estático. Un concepto clave es el centro de gravedad de un cuerpo en reposo, ya que constituye un punto que es imaginario donde toda la masa de un cuerpo residirá. El cuerpo puede caer si el centro de gravedad se encuentra fuera de las bases, lo cual causara que el cuerpo sea inestable, para que no suceda esto, el centro de gravedad debe caer dentro de las bases. En caso de que el centro de gravedad se coincida con los fundamentos, entonces se le denomina cuerpo metaestable.

Tomando en cuenta la sumatoria de las fuerzas X y Y, se pueden aplicar los siguientes métodos para calcular la fuerza que soporta cada parte de la estructura:

v Método de nodos

Imagen tomada de :
http://www.cuvicad.com/Capacitacion
/SolidEdge/SEbasicop.html

v Método de secciones

Principios de equilibrio

Condiciones Generales de Equilibrio

Fuerzas Colineales

Fuerzas Coplanares Concurrentes

Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas

Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas.

Fuerzas No Coplanares Concurrentes

Fuerzas No Coplanares Paralelas

Fuerzas No Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas

Condiciones Especiales de Equilibrio

Momento Flector

Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas.

Viga simplemente apoyada, solicitada a flexión por sobrecarga uniformemente distribuida.

Para elementos lineales, el momento flector M_f(x) se define como una función a lo largo del eje baricéntrico del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Asimismo las cargas estaran completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. En una pieza de plano medio, si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricéntrico sobre dicho plano el momento flector puede calcularse a partir de la ecuación de la curva elástica

$M_f(x) = \frac{d}{dx}\left( EI_f \frac{dy}{dx} \right)$

Donde:

$y(x)\,$ es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elástica.

$E\,$ es el módulo de Young del material de la viga.

$I_f\,$ es el segundo momento de área de la sección transversal de la viga.

Además el momento flector sobre una viga de plano medio viene relacionado con el esfuerzo cortante por la relación:

$\frac{dM_f(x)}{dx} = -V(x)$

Flexión de una viga simplemente apoyada

El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.

Método de los tramos

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

$< x - a > ^n = \begin{cases} 0, & \mbox {si } x < a \\ < x - a > ^n , & \mbox {si } x \ge a \end{cases}$

Método de la integración directa

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen fuerzas puntuales y reacciones verticales $P_1, ..., P_n\;$ aplicadas en los puntos $x_1 < ... < x_n\;$ , una carga distribuida continua

q (x)

y momentos puntuales $M_1, ..., M_m\;$ situados a la derecha de la sección, el momento flector total puede calcularse directamente como:

$M_f(x) = (M_1+...+M_m) + \sum_{i=1}^k P_i(x-x_i) + \int_0^x ds\int_0^{s} q(\bar{s})\ d\bar{s}$

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la condición $x_k \le x$ . La anterior función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos.

Cálculo de tensiones en flexión.

En un elemento constructivo prismático sometido a flexión se generan tensiones normales a la sección transversal,

σ

, de sentido opuesto en la zona comprimida y en la zona traccionada, que generan un momento resultante de las tensiones internas que iguala al momento exterior aplicado

Flexión simple no desviada

Cuando una pieza prismática está siendo flectada por un momento flector que coincide vectorialmente en dirección con uno de los ejes principales de inercia se dice que está sometido a flexión no desviada, si además no existe esfuerzo axial la flexión se dice simple, y si además la sección tiene un plano de simetría perpendicular al momento, situación que sucede típicamente en las estructuras convencionales, la tensión normal en cualquier punto se produce en una viga o un elemento flectado al aplicar un momento flector se puede aproximar por la fórmula de Navier:

$\sigma(x,y) = - \frac {M_f(x)y}{I_f}$

Donde M_f es el momento aplicado, y es la distancia desde el baricentro (centro de gravedad de la sección) a la fibra considerada, e I_f es el segundo momento de inercia de la sección con respecto al eje de flexión. Para mayor practicidad, suele utilizarse el momento resistente, calculado como:

$W_c = \frac {I_f}{y_c}$

Donde

y c

es la distancia máxima del baricentro al cordón superior o al cordón inferior, según se quiera calcular compresiones o tracciones máximas.

Para piezas simétricas respecto del baricentro, cargadas sólo con fuerzas contenidas en el plano de simetría que pasa por el baricentro, el cálculo de la tensión máxima en valor absoluto se reduce al cálculo del cociente:

$\sigma_{max} = \frac {M_f}{W_{min}}$

Flexión desviada y flexo-torsión

Para piezas no simétricas o con flexión desviada, la situación es más complicada. En piezas no simétricas por ejemplo el centro de cortante usualmente no coincide con el centro de gravedad lo cual provoca acoplamiento entre flexión y torsión, lo cual significa que si existe flexión exisitirá simultáneamente torsión y viceversa, lo cual obliga a computar el momento torsor y las tensiones tangenciales para poder estimar la tensión máxima.

En el caso de piezas con flexión desviada, es decir, piezas con flexión según una dirección que no coincide con los ejes principales de inercia, la tensión puede estimarse descomponiendo el momento flector según los ejes principales de inercia. Si además el centro de cortante coincide con el centro de gravedad y el alabeo de la sección puede despreciarse, podemos estimar la tensión máxima como:

$\sigma_{max} = \frac{N_x}{A}+\frac{M_{f1}}{W_1}+\frac{M_{f2}}{W_2}$

Donde:

$A, W_1, W_2\;$ , son el área y los momentos resistentes de la sección.

$N_x, M_{f1}, M_{f2}\;$ , son el esfuerzo axial y las componentes del momento flector proyectado sobre los dos ejes de inercia perpendiculares.

Cuando además existe torsión no siendo despreciable el alabeo, ni siendo los ejes de referencia necesariamente ejes principales la expresión de la tensión en cualquier punto genérico viene dada por:

$\sigma(x,y,z) = \frac{N_x(x)}{A}+\frac{zI_z-yI_{zy}}{I_yI_z-I_{yz}^2}M_y(x)+ \frac{yI_y-zI_{yz}}{I_yI_z-I_{zy}^2}M_z(x) + \omega\frac{B_\omega(x)}{I_\omega}$

Donde:

$I_z, I_y, I_{yz}\;$ , son los momentos de área de la sección.

$I_\omega\;$ , es el momento de alabeo.

$M_y, M_z, B_\omega\;$ , son las componentes del momento flector sobre los ejes arbitrarios y el bimomento asociado a la torsión

Metodos Experimentales

La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son:

El resultado de la suma de fuerzas es nulo.
El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.

Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.
Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.

Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos.

Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse.

Suma de fuerzas

Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación.

Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante.

Aplicaciones

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.