Estática "El blog en Equilibrio": Alejandro Berumen Domínguez

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Momento Flector

Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas.

Viga simplemente apoyada, solicitada a flexión por sobrecarga uniformemente distribuida.

Para elementos lineales, el momento flector M_f(x) se define como una función a lo largo del eje baricéntrico del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Asimismo las cargas estaran completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. En una pieza de plano medio, si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricéntrico sobre dicho plano el momento flector puede calcularse a partir de la ecuación de la curva elástica

$M_f(x) = \frac{d}{dx}\left( EI_f \frac{dy}{dx} \right)$

Donde:

$y(x)\,$ es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elástica.

$E\,$ es el módulo de Young del material de la viga.

$I_f\,$ es el segundo momento de área de la sección transversal de la viga.

Además el momento flector sobre una viga de plano medio viene relacionado con el esfuerzo cortante por la relación:

$\frac{dM_f(x)}{dx} = -V(x)$

Flexión de una viga simplemente apoyada

El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.

Método de los tramos

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

$< x - a > ^n = \begin{cases} 0, & \mbox {si } x < a \\ < x - a > ^n , & \mbox {si } x \ge a \end{cases}$

Método de la integración directa

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen fuerzas puntuales y reacciones verticales $P_1, ..., P_n\;$ aplicadas en los puntos $x_1 < ... < x_n\;$ , una carga distribuida continua

q (x)

y momentos puntuales $M_1, ..., M_m\;$ situados a la derecha de la sección, el momento flector total puede calcularse directamente como:

$M_f(x) = (M_1+...+M_m) + \sum_{i=1}^k P_i(x-x_i) + \int_0^x ds\int_0^{s} q(\bar{s})\ d\bar{s}$

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la condición $x_k \le x$ . La anterior función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos.

Cálculo de tensiones en flexión.

En un elemento constructivo prismático sometido a flexión se generan tensiones normales a la sección transversal,

σ

, de sentido opuesto en la zona comprimida y en la zona traccionada, que generan un momento resultante de las tensiones internas que iguala al momento exterior aplicado

Flexión simple no desviada

Cuando una pieza prismática está siendo flectada por un momento flector que coincide vectorialmente en dirección con uno de los ejes principales de inercia se dice que está sometido a flexión no desviada, si además no existe esfuerzo axial la flexión se dice simple, y si además la sección tiene un plano de simetría perpendicular al momento, situación que sucede típicamente en las estructuras convencionales, la tensión normal en cualquier punto se produce en una viga o un elemento flectado al aplicar un momento flector se puede aproximar por la fórmula de Navier:

$\sigma(x,y) = - \frac {M_f(x)y}{I_f}$

Donde M_f es el momento aplicado, y es la distancia desde el baricentro (centro de gravedad de la sección) a la fibra considerada, e I_f es el segundo momento de inercia de la sección con respecto al eje de flexión. Para mayor practicidad, suele utilizarse el momento resistente, calculado como:

$W_c = \frac {I_f}{y_c}$

Donde

y c

es la distancia máxima del baricentro al cordón superior o al cordón inferior, según se quiera calcular compresiones o tracciones máximas.

Para piezas simétricas respecto del baricentro, cargadas sólo con fuerzas contenidas en el plano de simetría que pasa por el baricentro, el cálculo de la tensión máxima en valor absoluto se reduce al cálculo del cociente:

$\sigma_{max} = \frac {M_f}{W_{min}}$

Flexión desviada y flexo-torsión

Para piezas no simétricas o con flexión desviada, la situación es más complicada. En piezas no simétricas por ejemplo el centro de cortante usualmente no coincide con el centro de gravedad lo cual provoca acoplamiento entre flexión y torsión, lo cual significa que si existe flexión exisitirá simultáneamente torsión y viceversa, lo cual obliga a computar el momento torsor y las tensiones tangenciales para poder estimar la tensión máxima.

En el caso de piezas con flexión desviada, es decir, piezas con flexión según una dirección que no coincide con los ejes principales de inercia, la tensión puede estimarse descomponiendo el momento flector según los ejes principales de inercia. Si además el centro de cortante coincide con el centro de gravedad y el alabeo de la sección puede despreciarse, podemos estimar la tensión máxima como:

$\sigma_{max} = \frac{N_x}{A}+\frac{M_{f1}}{W_1}+\frac{M_{f2}}{W_2}$

Donde:

$A, W_1, W_2\;$ , son el área y los momentos resistentes de la sección.

$N_x, M_{f1}, M_{f2}\;$ , son el esfuerzo axial y las componentes del momento flector proyectado sobre los dos ejes de inercia perpendiculares.

Cuando además existe torsión no siendo despreciable el alabeo, ni siendo los ejes de referencia necesariamente ejes principales la expresión de la tensión en cualquier punto genérico viene dada por:

$\sigma(x,y,z) = \frac{N_x(x)}{A}+\frac{zI_z-yI_{zy}}{I_yI_z-I_{yz}^2}M_y(x)+ \frac{yI_y-zI_{yz}}{I_yI_z-I_{zy}^2}M_z(x) + \omega\frac{B_\omega(x)}{I_\omega}$

Donde:

$I_z, I_y, I_{yz}\;$ , son los momentos de área de la sección.

$I_\omega\;$ , es el momento de alabeo.

$M_y, M_z, B_\omega\;$ , son las componentes del momento flector sobre los ejes arbitrarios y el bimomento asociado a la torsión

Teorema de Varignon

El Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía Leibniz.

Enunciado.

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:

El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.

 

Demostración

Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1,F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicacion un cierto punto A. El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rxFi (producto vectorial). Nótese que escribimos r y no ri, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante R es: M = rxR donde R = F1 + F2 + Fi + ... + Fn y r es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos

rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)

rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces

M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

Luego, efectivamente "el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas si estas son concurrentes"

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

La Estática en sus inicios

La Mecánica es la rama de la Física que trata de la respuesta de los cuerpos a la acción de las fuerzas. El estudio de la Mecánica de cuerpos rígidos se puede subdividir, a su vez, en tres secciones principales: Estática, Cinemática, y Cinética.

La Estática se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas, es decir, cuerpos que están en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. La estática constituye una parte importante del estudio de la mecánica porque proporciona métodos para la determinación de las reacciones de los apoyos, y de las relaciones entre las distribuciones de fuerzas interiores y las cargas exteriores en las estructuras estacionarias.

Muchos problemas prácticos de ingeniería que comportan cargas soportadas por componentes estructurales se pueden resolver utilizando las relaciones que se desarrollan en Estática.

La estática fue la que primero se desarrolló. según nos dice la Historia, debido a que muchos de sus principios resultan necesarios para la construcción de edificios. Los antiguos monumentos egipcios y asirios contienen representaciones pictóricas de muchos tipos de utensilios mecánicos. Los constructores de las pirámides de Egipto probablemente comprendieron y utilizaron dispositivos tales como la palanca, la narria y el plano inclinado.

El Dr. Ernst Mach de la Universidad de Viena publicó en 1983 una historia de la Mecánica. Los acontecimientos mas importantes en cuanto a las contribuciones a la mecánica que presentamos se han obtenido de esa fuente.

Archytas de Tarento (-400 a.C) fundó la teoría de las poleas. Los escritos de Arquímedes (287-212 a.C) demuestran que él había comprendido las condiciones de equilibrio de una palanca y el principio de la flotación. Leonardo da Vinci añadió a los trabajos de Arquímedes sobre las palancas el concepto de momento y lo aplicó al equilibrio de los cuerpos rígidos. Copérnico propuso que la Tierra y demás planetas del sistema solar giraban alrededor del Sol. Desde los tiempo de Ptolomeo, se suponia que la Tierra era el centro del universo. Stevin fue el primero en describir el comportamiento de un cuerpo en un plano inclinado liso y utilizo la ley del paralelogramo de adición de fuerzas. Varignon estableció la igualdad entre el momento de una fuerza y la suma de los momentos de sus componentes. Al parecer tanto Stevin como Galileo, entendieron el principio de los desplazamientos virtuales aunque fue Jean Bernoulli quien percibió su aplicación a todos los casos del equilibrio y comunico su descubrimiento a Varignon en una carta escrita en 1717.

El estudio de la Mecánica se fundamenta en las leyes que formulo y publico en 1687 Sir Isaac Newton. En un tratado llamado Principia, Newton estableció las leyes fundamentales que rigen el movimiento de un punto material de la manera siguiente.

Leyes de Newton del movimiento.

Primera Ley. Todo cuerpo se mantiene en su estado de reposo o de movimiento uniforme, salvo si se ve forzado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas

Segunda Ley. La variación de movimiento es proporcional a la fuerza motriz aplicada y tiene lugar en la dirección de la recta según la cual se aplica la fuerza.

Tercera Ley. La reacción es siempre igual y opuesta a la acción, es decir las acciones que se ejercen mutuamente 2 cuerpos son siempre iguales y directamente opuestas.

Estas leyes suelen expresarse hoy en día asi:

Primera Ley. En la ausencia de fuerzas exteriores, un punto que estuviera inicialmente en reposo o moviendose a velocidad constantes seguirá en reposo o moviendo a velocidad constante en linea recta.

Segunda Ley- Si sobre un punto material se ejerce una fuerza exterior dicho punto se acelerara en la dirección y sentido de la fuerza y el modulo de la aceleración sera directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del punto.

Tercera Ley. La reacción es siempre igual y opuesta a la acción; es decir las acciones que se ejercen 2 cuerpos, uno sobre otro, son siempre iguales y directamente opuestas.

Las tres leyes de Newton se desarrollaron a partir de un estudio del movimiento planetario, por tanto, solo son aplicables al movimiento de puntos materiales. Durante el Siglo XVII, Leonhard Euler extendió el trabajo de Newton para puntos materiales al caso de sistemas de cuerpos rígidos.

Fuente:

Ingeniería Mecánica Estática, William F. Riley., Editorial Reverté S.A.