Teorema de Varignon

El Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis sostenía Leibniz.

Enunciado.

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:

El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.

 

Demostración

Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1,F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicacion un cierto punto A. El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rxFi (producto vectorial). Nótese que escribimos r y no ri, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante R es: M = rxR donde R = F1 + F2 + Fi + ... + Fn y r es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos

rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)

rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces

M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

Luego, efectivamente "el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas si estas son concurrentes"

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

Mediciones experimentales de la presión estática

La medición de la presión en un conducto se realiza con un manómetro, en el caso más sencillo del tipo en U. En su interior un líquido (alcohol, agua, aceite,...) indica la diferencia de altura entre las dos ramas, lo cual es ya una medida de diferencia de presión si se conoce la densidad del líquido. Si el líquido es agua las unidades utilizadas son milímetros de columna de agua. La lectura, por tanto, es directa.

Se trata de instrumentos muy simples, fáciles de utilizar, robustos y aptos para medir en puntos fijos o variables. Una variación del manómetro en U es el manómetro inclinado, que proporciona una ampliación de la escala y por lo tanto una mayor sensibilidad de la lectura. Es aconsejable que la base del manómetro esté bien nivelada, por lo que se aconseja medir en puntos fijos.

Existen modelos más sofisticados, como los manómetros aneroides, de mayor sensibilidad que los anteriores y sin fluidos en su interior, lo que simplifica su mantenimiento. Sin embargo, requieren calibración periódica y son más susceptibles de sufrir un fallo mecánico.

El manómetro en U se conecta sucesivamente a cada uno de los puntos de medida mediante un tubo de goma y se lee la diferencia de presión entre el interior del conducto y la atmósfera (en milímetros de columna de agua, mmcda). La medición se realiza colocando una de las ramas del manómetro perpendicular a la dirección del flujo. Los orificios en el conducto deben tener diámetros comprendidos entre 1,5 y 3 mm y no deben realizarse por punzonamiento puesto que las rebabas que ello generaría en la cara interna podrían ocasionar turbulencias en la corriente.

Dado que estamos describiendo un procedimiento de rutina, sería conveniente disponer de conexiones fijas para los manómetros en U, que deberían contemplarse ya en la fase de proyecto del sistema.

El perfil típico de presiones estáticas en un sistema de extracción localizada se muestra en la figura 1. En el punto 1 la presión que mediremos será la presión atmosférica¹. Aguas abajo de la campana los valores son negativos, aumentando la diferencia con la presión atmosférica hasta llegar al ventilador, donde se comunica la suficiente energía mecánica al ventilador para mover el fluido hasta fuera del sistema. En el punto 5 la presión estática es nuevamente nula.

Figura 1. Perfil de presiones estáticas en un sistema de extracción localizada

HERNANDEZ REYES CUAUHTEMOC

Metodos Experimentales

La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son:

El resultado de la suma de fuerzas es nulo.
El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.

Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.
Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.

Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos.

Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse.

Suma de fuerzas

Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación.

Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante.

Aplicaciones

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

MÉTODO DE RITTER O DE LAS SECCIONES

El método de Ritter es efectivo cuando se desea la fuerza en una barra sola o las fuerzas de un número reducido de barras de una armadura simple. El método de las secciones debe también emplearse cuando la armadura no es simple.
Para determinar la fuerza en una barra dada de una armadura por el metodo de las secciones deben seguirse los siguientes pasos:

Dibujar un diagrama de sólido libre de la armadura completa, y emplear ese diagrama para hallar las secciones en los apoyos.
Seccionar la armadura cortando a tres barras, una de las cuales se la barra problema. Una vez retiradas esas barras, resultarán dos porciones de la armadura independientes.
Elegir una de las porciones en que se ha separado de la armadura y dibujar su diagrama de solido libre. Ese diagrama debe incluir las fuerzas externas aplicadas a la porción elegida así como las fuerzas que sobre ella ejercian las barras que se seccionaron antes de retirarlas.
Se podrá entonces escribir tres ecuaciones de equilibrio de las que podrán obtenerse las fuerzas en las tres barras seccionadas.
Un método alternativo es escribir una sola ecuación, de la que pueda despejarse la fuerza en la barra problema. Para ello, se observa si las fuerzas que las otras dos barras ejercen sobre el sólido libre son paralelas o si se cortan sus rectas soporte.

a) Si esas fuerzas son paralelas, podrán podran eliminarse escribiendo una ecuación de equilibrio correspondiente a las componentes en una dirección perpendicular a esas dos fuerzas.

b) Si sus rectas soporte se cortan en un punto H, podrán eliminarse escribiendo una ecuación de momentos respecto a H.

Se debe tener presente que la sección empleada debe cortar sólo a tres barras. Esto se debe a que el sistema de equilibrio en el paso 4 no permite despejar más que tres incógnitas.

Método experimental

Introducción

La filosofía reconoce numerosos métodos, entre los que están el método por definición, demostración, dialéctico, trascendental, intuitivo, fenomenológico, semiótico, axiomático, inductivo.^[^]La filosofía de la ciencia es la que, en conjunto, mejor establece los supuestos ontológicos y metodológicos de las ciencias, señalando su evolución en la historia de la ciencia y los distintos paradigmas dentro de los que se desarrolla.

El método científico (del griego: -meta = hacia, a lo largo- -odos = camino-; y del latín scientia = conocimiento; camino hacia el conocimiento) presenta diversas definiciones debido a la complejidad de una exactitud en su conceptualización: "Conjunto de pasos fijados de antemano por una disciplina con el fin de alcanzar conocimientos válidos mediante instrumentos confiables", "secuencia estándar para formular y responder a una pregunta". Así el método es un conjunto de pasos que trata de protegernos de la subjetividad en el conocimiento.

Método experimental de las ciencias empíricas

Las ciencias empíricas, experimentales o naturales son aquellas que estudian los fenómenos observables en la naturaleza. Se llaman experimentales porque parten de la experiencia y utilizan como criterio para aceptar sus tesis, la verificación experimental, su comprobación en la experiencia.

Método empírico-analítico. Conocimiento auto correctivo y progresivo. Características de las ciencias naturales y sociales o humanas. Caracteriza a las ciencias descriptivas. Es el método general más utilizado. Se basa en la lógica empírica. Dentro de éste podemos observar varios métodos específicos con técnicas particulares. Se distinguen los elementos de un fenómeno y se procede a revisar ordenadamente cada uno de ellos por separado.

Método experimental: Algunos lo consideran por su gran desarrollo y relevancia un método independiente del método empírico, considerándose a su vez independiente de la lógica empírica su base, la lógica experimental. Comprende a su vez:

Método hipotético deductivo. En el caso de que se considere al método experimental como un método independiente, el método hipotético deductivo pasaría a ser un método específico dentro del método empírico analítico, e incluso fuera de éste.

Método de la observación científica: Es el propio de las ciencias descriptivas.
Método de la medición: A partir del cual surge todo el complejo empírico-estadístico.

Método experimental

Es el más complejo y eficaz de los métodos empíricos, por lo que a veces se utiliza erróneamente como sinónimo de método empírico. Algunos lo consideran una rama tan elaborada que ha cobrado fuerza como otro método científico independiente con su propia lógica, denominada lógica experimental.

En este método el investigador interviene sobre el objeto de estudio modificando a esta directa o indirectamente para crear las condiciones necesarias que permitan revelar sus características fundamentales y sus relaciones esenciales bien sean:

-Aislando al objeto y las propiedades que estudia de la influencia de otros factores.

-Reproduciendo el objeto de estudio en condiciones controladas.

-Modificando las condiciones bajo las cuales tiene lugar el proceso o fenómeno que se estudia. .

Así, los datos son sacados de la manipulación sistemática de variables en un experimento ( método hipotético deductivo, el cual a su vez también se considera como un tipo de método empírico fuera del método experimental por su relevancia y eficacia). Una diferencia clara con el método empírico en general es que éste además trata de considerar los errores de modo que una inferencia pueda ser hecha en cuanto a la causalidad del cambio observado (carácter auto correctivo).

Este método tiene las siguientes fases:

Observación.
Formulación de hipótesis.
Comprobación de la hipótesis
Formulación de la ley.
Expresión matemática de la ley.
El conjunto de leyes forma una teoría que se aplica de manera deductiva como los axiomas en las matemáticas

Observación

Es la primera fase, aquella en la que el científico pone su atención en el estudio de las características del fenómeno objeto de su investigación.

Esta observación puede ser directa, es decir, según como se desarrolle el fenómeno en la naturaleza, o provocada en un laboratorio, esta segunda forma es la experimentación. La experimentación ofrece mayores ventajas que la mera contemplación del fenómeno en la naturaleza. En el laboratorio el fenómeno se puede repetir cuantas veces sea necesario y además se puede manipular.

Esta primera fase de investigación es muy importante, ya que un fallo en la observación puede generar una teoría equivocada.

La observación ha de ser medida, es decir, cuantificada. La matematización de la ley sólo es posible en el caso de que la observación haya sido cuantificada.

Formulación de hipótesis
La hipótesis –tesis débil-, es una explicación provisional del fenómeno que cumple un doble papel.

La hipótesis sirve para dirigir la investigación permitiendo su avance.
La hipótesis organiza los hechos observados:

Para organizar los hechos, toda hipótesis debe cumplir varias condiciones:

· Tiene que ser sugerida por los hechos observados.

· Tiene que ser coherente, es decir, no llevar a contradicciones.

· Tiene que ser verificable, susceptible de ser comprobada experimentalmente.

· Debe ser lo más sencilla posible. En igualdad de condiciones entre dos hipótesis se debe elegir la más sencilla.

Comprobación de las hipótesis

Una vez formulada, la hipótesis ha de ser verificada. Esta verificación se realiza mediante los llamados métodos de Stuart Mill (1806 – 1876), que perfeccionan las antiguas tablas de Francis Bacon (1561 – 1626).
Estos métodos son tres:

Método de concordancias: Si A es causa de B, siempre que se dé A se dará B.
Método de diferencias: Si A es causa de B, al faltar A, tiene que faltar B.
Método de variaciones concomitantes: Si A es causa de B, al variar A, tiene que variar B.

La aplicación de estos métodos de Stuart Mill, se llama hoy día implicaciones contrastadoras, es decir predicciones de lo que sucederá si la hipótesis es exacta y correcta. Estas predicciones implicadas por la hipótesis, sirven para contrastarla o confirmarla.

Formulación de la ley

Una vez corroborada la hipótesis, se generaliza para todos los casos, pasa a la categoría de ley científica y como tal se formula. Una ley científica funciona como los axiomas en la matemática; a partir de la ley se deduce la teoría, como a partir de los axiomas se deducen los teoremas.

Matematización de la ley

El conjunto de leyes forma una teoría que se aplica de manera deductiva como los axiomas en las matemáticas.
Ejemplo de la bomba de agua

Un ejemplo interesante del método experimental con el problema de explicar por qué las bombas no pueden levantar el agua a una altura superior a 10 metros. El problema era interesante para los ingenieros de minas y los fontaneros, pero también tenía un alcance más amplio. Era una teoría de carácter general que podía aplicarse a varios dominios de la tecnología.

Los supuestos iniciales eran:
· A 1: El aire es un fluido que obedece a las leyes de la estática de los líquidos.
A 2: La tierra está rodeada por una capa de aire, Torricelli decía: “Vivimos sumergidos en un mar de aire elemental”.
De A 1, dedujo:

· T 1: El aire ejerce una presión sobre los cuerpos en contacto con él.De A 1 y T 1, dedujo:

· T 2: El aire atmosférico ejerce una presión sobre la superficie de la tierra – nos encontramos ante el concepto actual de presión atmosférica -. De hecho, Torricelli explica la subida del líquido en las bombas como el efecto de la presión del aire atmosférico sobre la superficie libre del líquido; la función del pistón no es absorber el agua – como pensaron los antiguos -, sino desalojar el aire liberando así el agua que sube de la presión atmosférica.

La presión atmosférica se transmite al cuerpo líquido y lo único que hace el pistón es liberar la columna líquida de dicha presión.

· T 3: El aire atmosférico ejerce una presión sobre la superficie libre de los líquidos. De A 1, se sigue que las leyes de los vasos comunicantes valen también para el sistema aire líquido. De A 1 y T 3, se sigue:

· T 4:Si no hay una fuerza que actúe sobre una porción de la superficie de un líquido mientras el resto de la superficie sufre la acción de la atmósfera, la primera posición sube hasta que su peso se equilibra con el paso de la columna de aire. Aquí introduce el concepto de equilibrio hidrostático en un tubo en forma de U.

· Definición: Dos fluidos se encuentran en equilibrio en un tubo U, si y solo si las presiones que ejercen recíprocamente sobre la superficie de contacto son iguales. Esta definición unida al Teorema 4, implican:

· T 5: La altura máxima alcanzada por un líquido que sube bajo la acción de la presión atmosférica es la que corresponde al equilibrio. La presión atmosférica , es igual a la presión del líquido, es decir, a su gravedad específica multiplicada por la altura de su columna: , de donde Esta afirmación no es una pura intuición, puesto que va precedida por un análisis; tampoco es una inducción, ya que no es una generalización de un número determinado de observaciones; tampoco se trata de una deducción, porque no es la conclusión de ninguna premisa anterior. Es por tanto, un nuevo axioma sugerido por la comparación de dos cosas, que afirma su semejanza: es una analogía. La nueva hipótesis se expresa como un axioma:

· Axioma 3: Una bomba aspirante – impelente: El líquido en el que está parcialmente sumergida y la atmósfera constituyen un tubo en forma de U, cuya peculiaridad consiste en que la presión atmosférica no actúa sobre una de sus ramas.

Ejemplo de la bomba aspirante-impelente

De A 3 y T 5, se deduce la posibilidad de producir realmente un vacío.

T 6: Si una vez que la columna líquida ha alcanzado la altura de equilibrio, la bomba sigue trabajando, aparece un vacío entre la superficie de la columna líquida y el pistón. Ya tenemos lo necesario para explicar por qué suben los líquidos en las bombas, y por qué la subida tiene un límite.

Resumen del razonamiento

1. Enunciado del problema
La limitada capacidad de extracción de las bombas de succión y la inadecuación de la hipótesis del horror vacui (- rechazo que siente la naturaleza por el vacío -) para explicar esa generalización empírica.

2. Hipótesis iniciales
2.1. La aerostática y la hidráulica son una disciplina (analogía).
2.2. Existe la atmósfera (mar de aire elemental) (analogía).

3. Elaboración de hipótesis iniciales
A 1 teoría hidrostática. Luego ( ├ T 1) (deducción).
A 2, T 2. Luego (├T 2) (deducción).
T 2 ├ T 3 (deducción).
A 1 T 3 ├T 4 (deducción).

4. Expansión de la teoría inicial
Df. (estipulación).
(Df. T 4 y T 5)(deducción).

A 3: Parte de un tubo en U que funciona como una bomba (analogía).

A 3, T 5, T 6 (deducción).

Una bomba aspirante – impelente: El líquido en el que está parcialmente sumergida y la atmósfera constituyen un tubo en forma de U ,cuya peculiaridad consiste en que la presión atmosférica no actúa sobre una de sus ramas.

5. Solución del problema

T 4, A 3, subida de los líquidos en las bombas (deducción).

T 5 A 3 altura limitada de la columna de líquido que sube por la bomba

Secciones: en equilibrio o al suelo...

En cualquier parte de nuestro entorno se pueden observar estructuras, sin embargo es necesario saber la forma en como estan constituidos para poder quedarse en una sola posición puesto que de lo contrario cobrarían vida y serian inservibles para nuestro propósito (equilibrio).

Se analiza el método de las secciones para ello se parte de que si un cuerpo esta estatico cualquier parte de él también lo esta, en este método lo que se hace es:

· la estructura se corta por medio de una sección imaginaria.

· Se determinan reacciones en los apoyos .

· Se hace el diagrama de cuerpo libre de la sección.

· Se realizan las ecuaciones de equilibrio a fin de determinar las fuerzas que actúan sobre la estructura.

Ejemplo: determine la fuerza en los miembros GE, GC y BC de la estructura e indique si se encuentran a tensión o compresión.

1. Se corta la estructura

2. Se determinan las reacciones en los apoyos A y D.

+ ∑Fx = 0; 400- Ax =0 Ax = 400 N

+ ∑MA = 0; -1200N (8m) – 400N (3m) + Dy(12m) = 0 Dy = 900N

+ ∑Fy = 0; Ay – 1200N + 900N = 0 Ay = 300N

3. Diagrama de cuerpo libre de la sección (se escoge arbitrariamente las sección a trabajar en este caso se trabajara con el inciso c por tener un menor numero de fuerzas).

4. Se plantean las ecuaciones de equilibrio.

Sumando momentos con respecto al punto G

Nota: sobre el punto en donde se analiza no existe momento por lo tanto se eliminan las fuerzas y

+ ∑MG = 0; -300 N (4m) – 400N (3m) + Fbc(3m) = 0

Fbc = 800N

+ ∑MC = 0; -300 N (8m) + Fge(3m) = 0

Fge = 800N

+ ∑Fy = 0; 300N - 3/5 Fgc = 0

Fgc = 500N

Equilibrio estático

El equilibrio mecánico o estático es una situación estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones:

(1) Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre cada partícula del sistema es cero.

(2) Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero.

EQUILIBRIO DE FUERZAS

Como consecuencia de las leyes de la estática una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a veocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un sólido rígidoLas ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:

Una partícula o un sólido rígido está en equilibrio cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

$\sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i}=0 \,$

En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:

$\vec{F}_{i}= F_{i,x}\,\vec{u}_x + F_{i,y}\,\vec{u}_y+ F_{i,z}\,\vec{u}_z\,$

Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:

$\sum_{i=1}^{n} F_{i,x}=0 \,$
$\sum_{i=1}^{n} F_{i,y}=0 \,$
$\sum_{i=1}^{n} F_{i,z}=0 \,$

Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las componentes de las fuerzas que actúan sobre él es cero.

Un sólido rígido está en equilibrio, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.

$\sum_{i=1}^{n} \vec{M}_{i}=0 \,$

En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:

$\vec{M}_{i}= M_{i,x}\,\vec{u}_x + M_{i,y}\,\vec{u}_y+ M_{i,z}\,\vec{u}_z\,$

Resultando:

$\sum_{i=1}^{n} M_{i,x}=0 \,$
$\sum_{i=1}^{n} M_{i,y}=0 \,$
$\sum_{i=1}^{n} M_{i,z}=0 \,$

Un sólido rígido está en equilibrio de rotación cuando la suma de las componentes de los momentos que actúan sobre él es cero

Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de rotación.
Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en equilibrio mecánico y estático, un paracaidista cayendo a velocidad constante, dada por la velocidad estaría en equilibrio mecánico pero no estático.

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial

Equilibrio meta-estable (1), inestable (2) y estable (3).

Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que éste sea, entonces se alejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).

Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía. Así, si el sistema es desplazado de la posición de equilibrio una cantidad suficientemente pequeña, posiblemente no volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergerá mucho de la posición anterior de equilibrio.

Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño de del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energía potencia es mayor que el mínimo absoluto representa un estado metaestable

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.

Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.

Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional

MÉTODO EXPERIMENTAL DEL EQUILIBRIO ESTÁTICO

En el siguiente experimento se presenta una situación que parece desafiar la gravedad. Consiste en un soporte de acrílico con un agujero que permite sostener una botella de vino de forma casi horizontal.

Materiales & Equipos

Botella de vino
Soporte de acrílico

Descripción del experimento

El montaje del experimento se presenta en la siguiente figura, en donde se observa que a pesar de que el soporte de acrílico se encuentra inclinado respecto a la vertical, la botella queda suspendida de manera horizontal. El sistema se encuentra en equilibrio estático.

Para que el sistema botella-soporte se encuentre en un estado de equilibrio estático, es necesario que la sumatoria de fuerzas netas y de torques netos sobre el sistema sea igual a cero. En el desarrollo que se presenta a continuación, se busca determinar la posición del centro de masa de la botella respecto al punto O tal que la botella queda en equilibrio de manera horizontal. A partir de la figura anterior se establecen las siguientes condiciones sobre la sumatoria neta de fuerzas y de torques (evaluados respecto al punto O) sobre el sistema:

Se encuentra entonces que el centro de masa de la botella de vino debe estar ubicado exactamente encima del punto de apoyo del soporte para que el sistema botella-soporte se encuentre en equilibrio estático.